数学分析教材选择

数学分析教材的看点

实数的定义

• 实数理论是数学分析的基础，好的数学分析书必须讲清楚什么叫实数

实数定义的几种定义方法：

• 无穷小数法：
  • 优点：直观，易于证明完备性
  • 缺点：不易定义四则运算、与实数不是一一对应的
• Dedekind 分割法
  • 优点：可以证明各种性质（包括四则运算、完备性等）
  • 缺点：不够直观、证明过程较冗长
• Cantor/Cauchy 基本列法
  • 优点：可以证明各种性质（包括四则运算、完备性等）
  • 缺点：需要先讲数列极限、需要等价关系和商集的知识
• 公理法：
  • 优点：不必谈论具体构造，直接从公理出发
  • 缺点：公理系统的相容性依赖于前三种构造

四种方法各有优劣，但都是很好的方法，最重要的是看教材是否能讲清楚它们

**微积分基本定理

• 微积分基本定理是数学分析（一）的终极目标
• 入门版： F(x) 连续可导、 f(x) 是其导数
• **标准版：**F(x) 可导、 f(x) Riemann 可积，且 f(x) = F’(x)
  • 上述两版本存在的问题：一个函数的导数不一定 Riemann 可积、Riemann 可积的函数不一定是某函数的导数
• 推广版本：
  • F(x) 可导， f(x) Riemann 可积，且 f(x) = F’(x) 可以在有限多个点处不成立
  • F(x) 可导， f(x) Riemann 可积，且 f(x) = F’(x) 可以在可数多个点处不成立
  • F(x) \ Lipschitz 连续，f(x) Riemann 可积，f(x) = F’(x) 几乎处处成立（在 Riemann 积分中可以得到的最强版本的微积分基本定理）
  • F(x) 绝对连续、 f(x) 是其几乎处处导数（ Lebesgue 积分版，回归到入门版的简洁形式）

上面几个例子可以说明 Riemann 积分的局限性和引入 Lebesgue 积分的必要性

隐函数定理

• 隐函数定理是数学分析（二）中多元函数微分学最重要的内容之一（另一个是泰勒公式），其各种推论对于理解流形的概念非常重要
• 流形的概念是条件极值、曲面积分等后续内容的基础
• 隐函数定理是微分学的顶峰，同时对积分学也有重要的作用

_ 隐函数定理的常见证明方法：_

• 消元法：
  • 优点：传统方法、思路清晰、易于理解
  • 缺点：证明过程繁琐、无法推广到无穷维空间
• 极值法：（不太推荐，技巧性太强）
  • 优点：证明过程简洁
  • 缺点：技巧性较强、只适用于欧式空间
• 不动点法：
  • 优点：现代方法、证明过程简洁、可推广到 Banach 空间
  • 缺点：需要度量空间、压缩映照原理等准备知识

重积分换元法

重积分换元法是整个数学分析中最难的定理之一，严谨的证明需要很多页数去描述，很多常见的数学分析教材对这个定理的处理都是不严格的

重积分换元法的常见证明方法：

• 最简微分同胚法：
  • 优点：传统方法
  • 缺点：需要微分同胚和单位分解的知识
• Schwartz 法（1954）：
  • 优点：现代方法、易与 Lebesgue 积分对接
  • 缺点：需要无穷范数和相应的有限增量定理
• Lax 法：
  • 优点：后现代方法、证明过程简洁
  • 缺点：对区域边界要求较高、需要先讲曲面积分

如何在数学分析中讲拓扑、实分析、复分析、泛函分析、微分流形…

• 数学分析中的很多定理其实是拓扑、泛函中某些更加一般的定理在欧式空间中的特殊情况
• 暂时忘掉欧式空间中那些不相关的结构、只保留最必要的结构，反而可以使定理得到最简化，让证明思路更加清晰
• 如果不引入更高级的知识，数学分析中的很多结果是是讲不清楚的
  • 有理函数的不定积分依赖代数基本定理，而代数基本定理依赖复分析
  • 积分学中的很多结果在实分析中有更优美的形式
  • Green 公式、 Gauss 公式和 Stokes 公式，都是流形上的一般 Stokes 公式的特例
• 数学分析中高级知识的各种讲法：
  • × 我觉得这东西很牛逼、很流行、很现代，所以要讲给你们听
  • √ 我觉得这东西对理解数学分析很有帮助，所以要讲给你们听
  • × 我把高级知识课本里的定义、定理堆在这儿，你们就应该能学懂了
  • √ 我结合数学分析的具体问题，把高级知识改造成更容易理解的形式

推荐书籍

卓里奇（俄） 《数学分析》（第一卷）

• 实数定义： 公理法，简单粗暴的俄式风格
• 微积分基本定理： 有限例外点版本的定理，传统讲法，未涉及 Lebesgue 积分
• 隐函数定理： 消元法（第一册）+ 不动点法（第二册）
• 重积分换元法： 最简微分同胚法（没有 Rudin 讲得清晰，但解释得多，更易理解）+ Schwartz 法
• 高级内容：
  • 度量空间的拓扑学
  • 赋范空间的微分学
  • 一般流形上的积分学
• 其它特色： 俄式讲法、非常传统、重视物理应用，大量习题与物理有关

Amann-Escher（德）

• 实数定义： Dedekind 分割 + Cantor 基本列
  • 逻辑通顺，讲法高级，但使用抽代的语言讲解，对初学者极度不友好
• 微积分基本定理： 极简版 +Lebesgue 积分
• 隐函数定理： 不动点法
• 重积分换元法： Schwartz 法（Lebesgue 积分）
• 高级内容： 所有你能想到的都讲了（实分析、复分析、泛函分析等等等）
• 其它特色：
  • 完全的现代观点、对传统内容交代不足，一定要重视传统，追根溯源
  • 内容过于丰富、不要奢望完全掌握
  • 适合自学（至少书作者是这么希望的）

陶哲轩 （美）《陶哲轩实分析》

• 此书的章节安排和选材与 Baby Rudin 类似，可视为对 Baby Rudin 的补充
• 缺少重积分换元法、流形上的积分等重要内容，所以只能做参考
• 第 5 章用 Cantor 基本列法定义实数，是其它书中少见的讲法，最具参考价值
• 陶哲轩文风轻松亲切，不像 Rudin 那么冷峻，对很多东西背后的思想解释的比较到位
• 中译本质量极高，译者力图还原了原文轻松亲切的口语化文风

菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》

• 国外的数学分析教材往往缺乏微积分的内容，此书正好补足这个缺陷
• 这套书包含非常丰富的例题，如：
  • 椭圆积分的处理方法
  • 数 e 的超越性证明
  • 各种稀奇古怪的积分、级数的计算
  • Lagrange 反演公式
  • Kepler 问题与 Bessel 级数
  • 附录讨论了 Moore-Smith 的“网”的概念，以及基于此的一般极限理论，这是滤子基方法之前的一种极限理论

吉米多维奇（俄）《数学分析习题集》

• 此书有多种版本，只推荐高教社没有解题过程的版本

• 此书被卓里奇强推，卓里奇求学和教学阶段都使用吉米多维奇。精读卓里奇《数学分析》时，建议以吉米多维奇作为参考，卓里奇上的习题一般偏难，而且不强调计算，需要用吉米多维奇来补充

• 做题的目的：

  • 检查自己是否学懂了定义和定理
  • 锻炼计算能力，把计算变成一种本能，变成肌肉记忆

• 认为计算不重要的人，可能还没进入到研究阶段，可能还只是处于学习阶段，因为数学系后续课程中，计算越来越少，会给人一种计算不重要的错觉，但是从学习阶段过渡到研究阶段时会发现，不理解一个东西时，可以通过大量计算相关例题培养出经验和直觉，厚积薄发

• 别看题解，做错了就记下题号，过几天再做

张筑生 《数学分析新讲》

• 实数定义： 无穷小数法（ Dedekind 风格）
• 微积分基本定理： 入门版
• 隐函数定理： 不动点法
• 重积分换元法： 最简微分同胚 + Schwartz 法（不用单位分解）
• 高级内容： 非常有限
• 其它特色：
  • 对于传统内容的讲解极为出色
  • 没有习题，重大缺陷

谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边 《数学分析习题课讲义》

• 这才是真正的数学分析习题集，吉米多维奇只能叫做微积分习题集
• 这套书中有很多其他书中没有的有趣的结果
• 很多问题都带有美国数学月刊之类的参考文献
• 如果参考题实在做不出来，书后有提示
• 讲解连续函数性质时，与动力系统相关的东西可以不看
• 不要只做题，正文中的各种讨论更有价值

避坑

常庚哲 史济怀 《数学分析教程》

• 实数定义： 错的
• 微积分基本定理： 入门版
• 隐函数定理： 消元法
• 重积分换元法： 错的
• 高级内容： 无
• 其他特色：
  • 这是何琛、史济怀、徐森林的《数学分析》的不成器的后代，后面徐森林、薛春华的也是
  • 此书的唯一的亮点是练习题和问题不错，但很多题目其实来自华罗庚
  • 网上有配套视频教程，作者在视频中指出了部分不严格的地方

徐森林 薛春华 《数学分析》

• 实数定义： 四种全讲了，但是都有问题
• 微积分基本定理： 入门版 + 有限例外点
• 隐函数定理： 消元法 + 不动点法
• 重积分换元法： Schwartz 法（反证无穷范数）
• 高级内容： 堆砌了一些点集拓扑的东西
• 其他特点：
  • 逻辑混乱，有大量冗余内容，从复杂到简单（不要按顺序学）
  • 有配套的习题解答（这是缺点）
  • 常庚哲、史济怀中的问题做不出来可以再这里找答案